Question

求解一道高数思考题

已知函数f（x）在x=1处连续 且lim（x趋向于1）f（x）/（x-1）=2
求f（x）在x=1 处的导数

Answer 1

∵lim（x趋向于1）f（x）/（x-1）=2
∴lim（x趋向于1）f（x）=0
又∵f（x）在x=1 处的导数=lim（x趋向于1）f（x）-f（1）/（x-1）
= lim（x趋向于1）f（x）-0/（x-1）
=lim（x趋向于1）f（x）/（x-1）
=2

追问

为什么
lim（x趋向于1）f（x）=0
这里没看懂 呵呵

追答

∵要使lim（x趋向于1）f（x）/（x-1）=2 （极限是一个常数）
又∵分母lim（x趋向于1）（x-1）=0（为无穷小）
∴此题中只有无穷小/无穷小才会出现值为常数
∴lim（x趋向于1）f（x）=0

Answer 2

因为lim（x趋向于1）f（x）/（x-1）=2，所以f（x）/(x-1)=2+a(x),{a(x)是当x趋近于1时的无穷小量}
所以f（x）=2（x-1）+a（x）（x-1），所以f（1）=0，
所以f'（1）=lim（x趋向于1）f（x）-f（1）/（x-1）=2