Question

在△ABC中，∠A=α，△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P，且∠P=β，试探求下

如图所示,在△ABC中,∠A=α,△ABC的内角平分线或外角平分线交予点P,且∠P=β,试探求下列各图中α于β的关系，并选择一个加以说明
记着，是三个都要说，一个详细，其他的只要说α和β的关系，建议详细说第三个

Answer 1

内角：∠P=1/2∠A+90度
外角：∠P=90度-1/2∠A
1.。。内外角：∠P=1/2∠A
内角证明：因为BP PC为角平分线
所以∠ABP+∠ACP=∠PBC+∠PCB
因为∠ABC+∠ACB=180-∠A
所以∠PBC+∠PCB=90-1/2∠A
所以∠P=180-90+∠A=90+1/2∠A

2.。证明：∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACE

∴∠ABC=2∠2 ， ∠ACE=2∠1

在△ABC中

∴∠A=∠ACE-∠ABC=2∠1-2∠2=2（∠1-∠2） （三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）

在△BCP中

∠P=∠1-∠2 ,（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）

∴∠A=2∠P ，即∠P=1/2∠A ,即β=1/2α 3.。∠P = 90-(1/2)∠A

过程

∠B外角 = ∠A +∠C

∠C外角 = ∠A+ ∠B

∠B外角+∠C外角 =∠ A +∠B+∠A+∠C = ∠A +180

又因为

∠P + (1/2) ∠B外角 + (1/2) ∠C外角 = 180

∠P + (1/2)(∠B外角 + ∠C外角)= 180

∠P + (1/2)(∠A +180)= 180

∠P + (1/2)∠A +90= 180

∠P = 180-90-(1/2)∠A

∠P = 90-(1/2)∠A

Answer 2

（1）可以把∠A=α，作为已知，求∠P即可．根据三角形内角和定理以及外角的性质即可求解；
（2）（3）解法相同．解答：解：（1）β=90°+ 12α；（2）β= 12α；（3）β=90°- 12α．
下面选择（1）进行证明．
在图（1）中，根据三角形内角和定理可得：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
∵BP与CP是△ABC的角平分线，
∴∠PBC= 12∠ABC，∠PCB= 12∠ACB，
∴∠PCB+∠PCB= 12（∠ABC+∠ACB）=90°- 12α．
在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PCB+∠PCB）=180°-（90°- 12α）=90°+ 12α．
∴β=90°+ 12α．点评：本题主要考查了三角形的内角和定理以及三角形的角平分线的定义．

最后一个：
∠P = 90-(1/2)∠A

过程

∠B外角 = ∠A +∠C

∠C外角 = ∠A+ ∠B

∠B外角+∠C外角 =∠ A +∠B+∠A+∠C = ∠A +180

又因为

∠P + (1/2) ∠B外角 + (1/2) ∠C外角 = 180

∠P + (1/2)(∠B外角 + ∠C外角)= 180

∠P + (1/2)(∠A +180)= 180

∠P + (1/2)∠A +90= 180

∠P = 180-90-(1/2)∠A

∠P = 90-(1/2)∠A

Answer 3

内角：∠P=1/2∠A+90度
外角：∠P=90度-1/2∠A
内外角：∠P=1/2∠A
内角证明：因为BP PC为角平分线
所以∠ABP+∠ACP=∠PBC+∠PCB
因为∠ABC+∠ACB=180-∠A
所以∠PBC+∠PCB=90-1/2∠A
所以∠P=180-90+∠A=90+1/2∠A

Answer 4

证外角那个哈。

追问

试探求下列各图中α与β的关系，并选择一个加以说明