Question

大学物理题，麻烦帮忙解一下

质点沿X轴运动，加速度随速度变化的关系为a=-kv,式中k为常数。当t=0时，x=x0,v=v0,求任意时刻质点的速度和位置？

Answer 1

根据速度的微分方程dv/dt=-kv 可以求出 v=A*exp(-kt)，其中A为待定系数，exp()为e指数函数。
根据t=0时，v=v0，得到A=v0。所以任意时刻速度为v(t)=v0*exp(-kt)。
进而求得任意时刻质点的位置为x(t)=x0+v0*exp(-kt)*t。

Answer 2

a = dv/dt = -kv → dv = a dt = -kv dt
分离变量 dv/v = -k dt 两边积分 ∫ (v0→ v)dv/v = ∫ (0→ t) -k dt
ln(v/v0) = -kt → v = v0*exp(-k*t)
v = dx/dt = v0*exp(-k*t) → dx = v0*exp(-k*t) dt
两边积分 ∫ (x0→ x)dx = ∫ (0→ t) v0*exp(-k*t) dt
x = x0 + v0/k*(1 - exp(-k*t))