Question

设a1,a2,...,an(n>=2)都是正数且a1+a2+...+an<1，求证： 1/(1+a1+a2+...+an)>(1-a1)(1-a2)...(1-an)

Answer 1

(1-a1)(1-a2)...(1-an)
=(1-(a1)^2)(1-(a2)^2)...(1-(an)^2)/[(1+a1)(1+a2)...(1+an)]
由题可知，对任意ai均有，0<ai<1
所以，0<(1-(ai)^2)<1
又因为分母大于零，所以有
(1-(a1)^2)(1-(a2)^2)...(1-(an)^2)/[(1+a1)(1+a2)...(1+an)]
<1*1...*1/[(1+a1)(1+a2)...(1+an)]
=1/[(1+a1)(1+a2)...(1+an)]
又因为分母的展开式
(1+a1)(1+a2)...(1+an)
=1+a1+a2+...+an+a1a2+a1a3+……+……+a1a2……an
>1+a1+a2+...+an>1
所以，1/[(1+a1)(1+a2)...(1+an)]<1/(1+a1+a2+...+an)
故有，1/(1+a1+a2+...+an)>(1-a1)(1-a2)...(1-an)