Question

y*y''+1=y'^(2)，求通解。。。。

Answer 1

不显含x型。
令y'=p,则y"=pdp/dy，
原微分方程可化为
yp[dp/dy]+1=p^2
即ydp/dy=(p^2-1)/p
分离变量
p/(p^2-1)dp=dy/y
两边积分
∫p/(p^2-1)dp =∫dy/y
∫1/(p^2-1)d(p^2-1) =2∫dy/y
ln(p^2-1)=2lny+lnC1
得p=±√[C1y^2+1]
即dy/dx=±√[C1y^2+1]
分离变量
dy/√[C1y^2+1]=±dx
两边积分
∫dy/√[C1y^2+1]=±∫dx
凑微
(1/√C1)∫1/√[1+C1y^2]d[(√C1)y]=±∫dx
得通解为：
(1/√C1)ln[(√C1)y+√(1+C1y^2)]=±x+C2

【其中用到了∫1/√(1+x^2)dx=ln|x+√(1+x^2)|+C】