Question

高中数学题（关于导数的）

设a为实数，函数f（x)=e^x-2x+2a,x属于R
（1）求f(x)的单调区间和极值；
（2）求证：当a>ln2-1且x>0时，e^x>x^2-2ax+1

Answer 1

1.
f'(x)=e^x-2>=0, x>=ln2
所以单调递增区间为[2,+无穷)
单调递减区间为(-无穷, 2]
所以，当x=2时，函数f(x)有最小值e^2+2a-4
2.
设g(x)=e^x-x^2+2ax-1
g'(x)=e^x-2x+2a>=e^2+2a-4 (第一问求的极值)
>e^2+2(ln2-1)-4=e^2+ln4-6>0
所以g(x)是单调递增函数
x>0时, g(x)>g(0)=e^0-0^2+2a*0-1=0
所以g(x)>0
所以e^x-x^2+2ax-1
e^x>x^2-2ax+1