Question

帮帮我呃、、一个奥数题初二的

已知1+x+x²+x³=0，则1+x+x²+x³+…+x^2008的值为多少？

老师讲的是1，我怎么算怎么觉得不对，我觉得应该是x^2008啊、、
帮帮忙哈！~~

Answer 1

因为1+x+x²+x³=0，
所以x^4 × (1+x+x²+x³=0) = 0
也就是 x^4 + x^5 + x^6 + x^7 = 0
也就是从1到x^3，从x^4到x^7，从x^8到x^11，...
从x^(4k)到x^(4k+3)求和的话都是0。
因为2007 = 4*501+3，所以从1一直加到x^2007都是0。
也就是从x一直加到x^2008都是0
因此所求式的值就是1了。
你说的x^2008也没错，只不过，x^2008就是1，呵呵。

追问

因为2007 = 4*501+3，所以从1一直加到x^2007都是0。
也就是从x一直加到x^2008都是0
为什么啊、、有关系吗它们……

追答

1+x+x²+x³+…+x^2007 = 0
两边同时乘以x
左边就变成了
x+x²+x³+…+x^2008了，右边还是0
：）

Answer 2

已知1+x+x²+x³=0 则 X= -1 那么x+x²+x³+…+x^2008=0 则1+x+x²+x³+…+x^2008=1

追问

为什么一定等于-1啊……