Question

利用函数单调性证明e^x>1+x,x≠0, 也可以用图像直观证明

Answer 1

f(x)=e^x-1-x
f'(x)=e^x-1
x>0,e^x>e^0=1,f'(x)>0单调递增
f(0)=1
x1>x2时，f(x1)-f(x2)>0
x2=0 f(x1)>0
x<0,e^x<e^0=1,f'(x)<0单调递减
f(0)=1
x1<x2时，f(x1)>f(x2)
x2=0,f(x1)>0
所以x>0或x<0,f(x)>0
e^x>1+x

Answer 2

记f(x)=e^x-1-x,
f'(x)=e^x-1,算出极值点x=0;
x<0时f'(x)<0,函数单调递减；
x>0时f'(x)>0函数单调递增；
所以x=0是f(x)极小值点，在x=0邻域内恒有f(x)>f(0)=e^0-1-0=0,即e^x-1-x>0

Answer 3

移过来求导
f(x)=e^x-x-1
f'(x)=e^X-1 x大于零时为正 小于零时为负 等于零时正好为零
原函数 在x=0出取到最小值0
则当x不等于零时 f（x）大于零
不等式成立

Answer 4

dfdfdf