高中数学关于圆求轨迹方程(高手来,写下具体解题步骤)
已知点A,B的坐标为(-3,0)(3,0),C为线段AB上任意一点,P,Q是分别以AC,BC为直径的两圆O1,O2的外公切点,求PQ中点轨迹方程要原创啊...
已知点A,B的坐标为(-3,0)(3,0),C为线段AB上任意一点,P,Q是分别以AC,BC为直径的两圆O1,O2的外公切点,求PQ中点轨迹方程
要原创啊 展开
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2个回答
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内公切线的切点记为C与PQ两点构成的三角形为直角三角形,
所以PQ的中点记为M与内公切线的切点的横坐标相同,设M(x,y)
所以CM=二分之一的PQ,则圆O1的半径为x+3,圆O2的半径为3-x
不妨设圆O1的半径小于圆O2的半径(也就是x<0)
连接O1P,O2Q,过O1作O1D垂直于O2Q,构成直角三角形,
由勾股定理得4y^2+4x^2=36,即x^2+y^2=9
其实当x>0时,轨迹方程相同。
综以所述,PQ中点轨迹方程为x^2+y^2=9 (-3<x<3)
所以PQ的中点记为M与内公切线的切点的横坐标相同,设M(x,y)
所以CM=二分之一的PQ,则圆O1的半径为x+3,圆O2的半径为3-x
不妨设圆O1的半径小于圆O2的半径(也就是x<0)
连接O1P,O2Q,过O1作O1D垂直于O2Q,构成直角三角形,
由勾股定理得4y^2+4x^2=36,即x^2+y^2=9
其实当x>0时,轨迹方程相同。
综以所述,PQ中点轨迹方程为x^2+y^2=9 (-3<x<3)
追问
内公切线?
追答
两圆的圆心在公切线的两侧时的切线叫内公切线,两圆的圆心在公切线的同侧时的切线叫外公切线
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〔方法一〕一般对图形没什么感觉,就直接算吧。
设PQ的中点为L(u,v),P,Q两点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),C点坐标为(x0,y0).
设PQ所在的外公切线为l:y=kx+b. 设圆O1,O2的半径分别为r,R。
(1)PQ在x轴上方。
设x轴到l 角为 a。
则:sin a = (R-r)/(R+r).
过L作直线l' 垂直l 交x轴与点K,由于l 是O1,O2的外公切线,则:PO1 || LK || QO2.
又:PL=QL,于是:KO1=KO2,即:K是O1,O2的中点。
于是:k点的坐标为:(((-3+x0)/2+(3+x0)/2)/2 , 0) = (x0/2, 0).
且:2LK=PO1+QO2=R+r
于是:(u,v)满足:(u-x0/2)^2+v^2=(R+r)^2/4. (#1)
设y轴到直线l' 角为 t,则易得:t=a.
于是:sin t = (x0/2 - u)/((R+r)/2)
= (x0-2u)/(R+r)
= sin a
= (R-r)/(R+r)
则:x0-2u=R-r (#2)
联立(#1) (#2) 消去x0,得:u=x0, u^2+4v^2=9. (@)
(2)当PQ在x轴下方时,(u,v)仍满足上述方程(@)。
(3)P,Q不可能出现在x轴上。
综上:PQ中点轨迹方程为:u^2+4v^2=9, v不等于0。
〔方法二〕将图形画出来,要细心观察。
过C点作直线垂直x轴交PQ于L(u,v).
于是:LC所在直线也是圆O1,O2的公切线。
则:PL=LC=LQ,即:L时PQ的中点。
则:u=x0.
再通过计算〔方法一〕中的前面几步,可得:(#1)。
于是:可得与〔方法一〕相同的结果。
设PQ的中点为L(u,v),P,Q两点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),C点坐标为(x0,y0).
设PQ所在的外公切线为l:y=kx+b. 设圆O1,O2的半径分别为r,R。
(1)PQ在x轴上方。
设x轴到l 角为 a。
则:sin a = (R-r)/(R+r).
过L作直线l' 垂直l 交x轴与点K,由于l 是O1,O2的外公切线,则:PO1 || LK || QO2.
又:PL=QL,于是:KO1=KO2,即:K是O1,O2的中点。
于是:k点的坐标为:(((-3+x0)/2+(3+x0)/2)/2 , 0) = (x0/2, 0).
且:2LK=PO1+QO2=R+r
于是:(u,v)满足:(u-x0/2)^2+v^2=(R+r)^2/4. (#1)
设y轴到直线l' 角为 t,则易得:t=a.
于是:sin t = (x0/2 - u)/((R+r)/2)
= (x0-2u)/(R+r)
= sin a
= (R-r)/(R+r)
则:x0-2u=R-r (#2)
联立(#1) (#2) 消去x0,得:u=x0, u^2+4v^2=9. (@)
(2)当PQ在x轴下方时,(u,v)仍满足上述方程(@)。
(3)P,Q不可能出现在x轴上。
综上:PQ中点轨迹方程为:u^2+4v^2=9, v不等于0。
〔方法二〕将图形画出来,要细心观察。
过C点作直线垂直x轴交PQ于L(u,v).
于是:LC所在直线也是圆O1,O2的公切线。
则:PL=LC=LQ,即:L时PQ的中点。
则:u=x0.
再通过计算〔方法一〕中的前面几步,可得:(#1)。
于是:可得与〔方法一〕相同的结果。
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