Question

高中数学关于圆求轨迹方程（高手来，写下具体解题步骤）

已知点A,B的坐标为(-3,0)(3,0),C为线段AB上任意一点，P,Q是分别以AC，BC为直径的两圆O1，O2的外公切点，求PQ中点轨迹方程
要原创啊

Answer 1

内公切线的切点记为C与PQ两点构成的三角形为直角三角形，
所以PQ的中点记为M与内公切线的切点的横坐标相同，设M（x，y)
所以CM＝二分之一的PQ，则圆O1的半径为x+3，圆O2的半径为3-x
不妨设圆O1的半径小于圆O2的半径(也就是x<0)
连接O1P，O2Q，过O1作O1D垂直于O2Q，构成直角三角形，
由勾股定理得4y^2+4x^2=36，即x^2+y^2=9
其实当x>0时，轨迹方程相同。
综以所述，PQ中点轨迹方程为x^2+y^2=9 （－3<x<3)

追问

内公切线?

追答

两圆的圆心在公切线的两侧时的切线叫内公切线，两圆的圆心在公切线的同侧时的切线叫外公切线

Answer 2

〔方法一〕一般对图形没什么感觉，就直接算吧。

设PQ的中点为L(u,v)，P,Q两点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2)，C点坐标为（x0,y0）.
设PQ所在的外公切线为l：y=kx+b. 设圆O1,O2的半径分别为r,R。
（1）PQ在x轴上方。
设x轴到l 角为 a。
则：sin a = (R-r)/(R+r).
过L作直线l' 垂直l 交x轴与点K，由于l 是O1,O2的外公切线，则：PO1 || LK || QO2.
又：PL=QL，于是：KO1=KO2，即：K是O1,O2的中点。
于是：k点的坐标为：(((-3+x0)/2+(3+x0)/2)/2 , 0) = (x0/2, 0).
且：2LK=PO1+QO2=R+r
于是：(u,v)满足：(u-x0/2)^2+v^2=(R+r)^2/4. (#1)
设y轴到直线l' 角为 t，则易得：t=a.
于是：sin t = (x0/2 - u)/((R+r)/2)
= (x0-2u)/(R+r)
= sin a
= (R-r)/(R+r)
则：x0-2u=R-r (#2)
联立(#1) (#2) 消去x0，得：u=x0, u^2+4v^2=9. (@)
（2）当PQ在x轴下方时，(u,v)仍满足上述方程（@）。
（3）P,Q不可能出现在x轴上。
综上：PQ中点轨迹方程为：u^2+4v^2=9, v不等于0。

〔方法二〕将图形画出来，要细心观察。

过C点作直线垂直x轴交PQ于L(u,v).
于是：LC所在直线也是圆O1,O2的公切线。
则：PL=LC=LQ，即：L时PQ的中点。
则：u=x0.
再通过计算〔方法一〕中的前面几步，可得：（＃1）。
于是：可得与〔方法一〕相同的结果。