Question

有关排列组合的证明 C(n,k)+C(n+1,k)=C(n+1,k+1) 以及C(r，r)+C（r+1,r）+```+C(n-1,r)=____ n>r

从连线上的数字，你能发现什么规律？ 根据规律，猜想下列数列的前若干项和：
1+2+3+····+C（n-1，n）=_____
1+3+6+····+C（n-1，2）= ____
1+4+10+····+C（n-1，3）= ____
推广：C(r，r)+C（r+1,r）+```+C(n-1,r)=____ n>r
实际上 上述等式可以用数学归纳法证明。

Answer 1

C(n,k)+C(n,k-1)
=n!/[k!*(n-k)!]+n!/[(k-1)!*(n+1-k)!]
=n!*[(n+1-k)+k]/[k!*(n+1-k)!]
=(n+1)!/[k!*(n+1-k)!]
=C(n+1,k),
∴C(r，r)+C（r+1,r）+```+C(n-1,r)
=c(r+1,r+1)+c(r+1,r)+……+c(n-1,r)
=c(n,r+1)(n>r) .
1+2+3+····+C（n-1，1）=c(n,2)____
1+3+6+····+C（n-1，2）=c(n,3) ____
1+4+10+····+C（n-1，3）= c(n,4)____

Answer 2

C(n,k)+C(n,k-1)
=n!/[k!*(n-k)!]+n!/[(k-1)!*(n+1-k)!]
=n!*(n+1-k)/[k!*(n+1-k)!]+n!*k/[k!*(n+1-k)!]
=n!*[(n+1-k)+k]/[k!*(n+1-k)!]
=(n+1)!/[k!*(n+1-k)!]
=C(n+1,k)
由1+2+3+····+C（n-1，n）=C(n+1,2)
1+3+6+····+C（n-1，2）= C(n+1,3)
1+4+10+····+C（n-1，3）= C(n+1,4)
推广：C(r，r)+C（r+1,r）+```+C(n-1,r)=C(n+1,r) (n>r)