Question

设f(x)=ax^2+bx+c,且6a+2b+c=0，f(1)f(3)>0,已知方程f(x)=0的两个不等实根为x1,x2,求x1+x2的取值范围

Answer 1

f(1)f(3)=(a+b+c)(9a+3b+c)>0
因为6a+2b+c=0，所以c=-6a-2b
带入f(1)f(3)=(-5a-b)(3a+b)>0
两边同时除以a^2, (-5-b/a)(3+b/a)>0
解不等式得，3<-b/a<5
x1+x2=-b/a
所以x1+x2的取值范围为 （3,5）

Answer 2

设方程两个不等实根分别为x1、x2
则，x1+x2=-b/a,
因为6a+2b+c=0,
f(1)=a+b+c=6a+2b+c-5a-b=-5a-b,
同理f(3)=3a+b,
且f(1)f(3)>0,即(-5a-b)(3a+b)>0
(-5a-b)(-3a-b)<0
因为，a^2>0,
所以，(-5-b/a)(-3-b/a)<0，解得3<-b/a<5
所以，x1+x2的取值范围是(3，5)