Question

1、求∫3/(x^ 2+1)dx； 2、求∫dx/√a^2+x^2；3、求∫dx/√x^2-a^2 ;4、求∫[√(x+1)-1]/[√(x+1)+1]dx

不是上学不用功，是毕业了，给领导做题，把学的都忘了，希望大虾帮忙。谢谢

Answer 1

1、∫3/(x²+1)dx＝3arctanx+C
2、∫dx/√(a²+x²)=∫d(x/a)/√[1+(x/a)²]=ar sh(x/a)+C, 其中ar shx是反双曲正弦函数。
【即y=ar shx=ln[x+√(x²+1)] 】
3、∫dx/√(x²-a²)=∫d(x/a)/√[(x/a)²-1]=ar ch(x/a)+C,其中ar chx是反双曲余弦函数。
【即y=ar chx=ln[x+√(x²-1)]】
4.∫[√(x+1)-1]/[√(x+1)+1]dx =∫{[(x+2-2√(x+1)]/x}dx=∫{1+(2/x)-2[√(x+1)]/x}dx
=x+2lnx-2∫{[√(x+1)]/x}dx=x+2lnx-2[2√(1+x)+∫dx/x√(1+x)]
=x+2lnx-4√(1+x)-2(未完，有事，渐停）

追问

耐心等待，谢谢

追答

4.∫[√(x+1)-1]/[√(x+1)+1]dx =∫{[(x+2-2√(x+1)]/x}dx=∫{1+(2/x)-2[√(x+1)]/x}dx
=x+2lnx-2∫{[√(x+1)]/x}dx...................(1)
令√(x+1)=u, x+1=u². x=u²-1, dx=2udu, 于是：
{∫[√(x+1)]/x}dx=2∫[u²/(u²-1)]du=2∫[1+1/(u²-1)]du=2∫[1-1/(1-u²)]du=2[∫du-∫du/(1-u²)]
=2[u-(1/2)ln│(1+u)/(1-u)│]=2√(x+1)-ln│[1+√(x+1)]/[1-√(x+1)]│
代入（1）得:
.∫[√(x+1)-1]/[√(x+1)+1]dx =x+2lnx-4√(x+1)+2ln│[1+√(x+1)]/[1-√(x+1)]│+C