Question

如图 在三角形abc中AB=4,D,E,F分别在AB,AC,BC上，且DE平行BC,EF平行AB

当d在何处是，四边形bfed的面积是△abc面积的二分之一。
四边形的bfed的面积能否大于△abc面积的一半，为什么

Answer 1

BDEF是平行四边形
设BD=a，BF=b，AB=x
有相似原理可得出a/BC=1-b/AB=1-b/x，则BC=ax/(x-b)
三角形ABC的面积=(AB*BCsinB)/2=ax^2sinB/(2x-2b)
四边形BDEF面积=absinB
两者之比为y=(absinB)/ax^2sinB/(2x-2b)
化简得 ayx^2-2abx+2ab^2=0
由于x有解，所以(2ab)^2-4ay*2ab^2≥0
y≤4a^2b^2/(8a^2b^2)=1/2
等号在x=2ab/a=2b
即D在AB的中点成立
故四边形的面积不可能大于△ABC的一半

Answer 2

当D在AB中点时 四边形BFED的面积为△ABC的一半