Question

如图1，已知△ABC的∠ACB的外角平分线交于角ABC的平分线于D，试说明∠D=二分之一角A的理由

若（1）中角ABC的平分线改成角ABC的外角的平分线，其他条件不变（如图二），（1）
的结论还成立吗？若成说明理由，若不成，请用含有角A的式子表示角D
如图

Answer 1

解：∵三角形的内角和为180°
∴∠ABC+∠A+∠ACB=180°
∵∠ACE+∠ACB=180°
∴∠ACE=∠A+∠ABC
简单点就是三角形的外角等于不相邻的两个内角和
∵∠ACE=∠A+∠ABC,CD平分∠ACE，BD平分∠ABC
∴∠EBD＝（1／2）∠ABC
∠ECD＝（1／2）∠ACE
∴∠ACE=∠A+∠ABC
∠DBE＋∠D＝∠ECD
（1／2）∠ABC＋∠E＝（1／2）∠ACE
∴∠ABC＋2∠E＝∠ACE
∠ACE=∠A+∠ABC
∴∠A＝2∠D
即∠D＝（1／2）∠A
∴∠A＝2∠E

结论不成立
证明：CD平分∠BCF，BD平分∠CBE
∴∠BCD＝（1／2）∠BCF
∠CBD＝（1／2）∠CBE
∵三角形的外角等于不相邻的两个内角和
∠CBE＝∠A＋∠ACB
∠BCF＝∠A＋∠ABC
∴∠BCD＝（1／2）（∠A＋∠ABC）
∠CBD＝（1／2）（∠A＋∠ACB）
∠D＝180°－（∠BCD＋∠CBD）
∠D＝180°－（1／2）（∠A＋∠ABC）－（1／2）（∠A＋∠ACB）
∠D＝180°－（1／2）∠A－（1／2）∠ABC－（1／2）∠A－（1／2）∠ACB
∠D＝180°－∠A－（1／2）（∠ABC＋∠ACB）
∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A
∴∠D＝180°－∠A－（1／2）（180°－∠A）
∠D＝180°－∠A－90°＋（1／2）∠A
∠D＝90°－（1／2）∠A