Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=-2/3与x=1处都区得极值

（1）求a、b值与f(x)单调区间 （2）若对x∈[-1,2]不等式f（x）＜x^2恒成立 求c范围

过程啊~~

Answer 1

(1)
f(x)=x^3+ax^2+bx+c
f'=3x^2+2ax+b=0
x1=-2/3 和 x2=1
是方程的根
x1+x2=-2a/3=1/3
a=-1/2
x1*x2=b/3=-2/3
b=-2
f'=3x^2-x-2=(3x+2)(x-1)
x>=1 或者 x<=-3/2 为单调增
-3/2<=x<=1为单调减

(2)

若对x∈[-1,2]不等式f（x）＜x^2
x^3+ax^2+bx+c<x^2
x^3-x^2/2-2x+c<x^2
c<3x^2/2+2x-x^3
令g（x)=3x^2/2+2x-x^3
转化为最值问题，因此只要求g的最小值就可以了
对g求导
g'=3x+2-3x^2=-(3x^2-3x-2)=0
x1=3+根号33/6 < 2
x2=3-根号33/6 >-1
当 x2<x<x1为增函数
当 x1<x 或者 x<x2为减函数
故g的最小值为g（x2)
g(x2)= -0.51
所以 c<(x2)= -0.51

题目是否有误？计算量很大

Answer 2

解:函数导函数 f‘（x）=3x²+2ax+b
在x=-2/3与x=1处都区得极值
所以 f’（1）=3+2a+b=0
f‘（-2/3）=3*4/9-4a/3+b=0
所以 b=-2 a=-1/2
f‘（x）=3x²+2ax+b =3x²-x-2=（3x+2）（x-1）
当 f’（x）＞0 即 x＜-2/3或 x＞1时 函数为增函数
当 f’（x）≤0即 -2/3≤x≤1 时函数为减函数
2）设 F（x）=f（x）-x²=x³-x²/2-2x+c-x²=x³-3x²/2-2x+c
F'（x)=3x²-3x-2
F'（x）＞0 所以 x＜1/2-√（11/12）或 x＞1/2+√(11/12)，F（x)为增函数
F'（x）≤0所以 x∈【1/2-√（11/12），1/2+√(11/12)】，F（x） 为减函数
所以 x∈【-1，1/2-√（11/12）】∪【1/2+√(11/12)，2】为增函数
x∈【1/2-√（11/12）,1/2+√(11/12)】为减函数
所以，要满足x∈[-1,2]不等式f（x）＜x^2恒成立 则 F【1/2-√（11/12）＜0
且F（2）＜0
F（x）=f（x）-x²=x³-x²/2-2x+c-x²=x³-3x²/2-2x+c
8-4/2-4+c=2+c＜0 得 c＜-2
F【1/2-√（11/12）＜0 所以 c＜1/12-5/6×√（11/12）
综上所述 c＜-2

Answer 3

我高一 错了别怪
（1）f‘（x）=3x²+2ax+b
f‘（-2/3)=0 f‘（1）=0
解a=-1/2，b=-2
f(x)在(-∞，-2/3)递增 （-2/3,1)递减 （1,+∞)递增
（2）f（x）=x³-x²/2-2x+c g(x)=f（x）-x²=x³-3x²/2-2x+c
它的导数=3x²-3x-2 g(x)=0
x1=(3+根号33)/6 x2=(3-根号33) /6
发现x1＜2 x2＞-1 g（-1）=c-1/2 g（2）=c-2
所以令g（-1）＜0 c＜1/2

Answer 4

第一问：对f(x)进行求导得f'(x)=3x^2+2ax+b
令上式=0，并带入x=-2/3和x=1
解这个二元一次方程，得a=-1/2，b=-2
第二问：所以，函数g(x)=x^3-1/2x^2-2x，x属于[-1,2]的最大值和最小值是g(1)=-3/2，最大值是g(2)=2
要f(x)<c^2恒成立，就要c^2-c-g(x)>0恒成立
即(c-1/2)^2>[g(x)+1/4]恒成立
所以[g(x)+1/4]属于[-5/4,9/4]
左边要恒大于右边，那么左边一定要大于右边的最大值
故(c-1/2)^2>9/4求c的取值范围
得c属于(负无穷,-1]和[2,正无穷)

Answer 5

(1) f/(x)=3x^2+2ax+b=0的两个根为-2/3与1

-2/3+1=-2a/3, -2/3*1=b/3 a=-1/2,b=-2，f(x)=x^3-1/2x^2-2x+c

(2) x∈[-1,2]时，f（x）＜x^2 => G(x) x^3-5/2x^2-2x+c＜0恒成立
左端求导得：3x^2-5x-2=0 解得 X1=-1/3,X2=2
G(x)在[-1,-1/3]z增，在【-1/3，2】减，G(X)MAX=MAX{G(-1),g(2)}=-3/2+C<0,=>C<3/2