Question

奥数题，，急！！！！！！！！！！！！！！！！！！

已知一串分数，1/1,1/2,2/2,1/2,1/3,2/3,3/3,2/3,1/3,1/4,2/4,3/4,4/4,3/4,2/4,1/4……前1000个分数的和是多少？

Answer 1

根据已知分式，知道当分母为n式，分母为n的分式有2n-1个，取设当分母为x时正好是前1000个分数，则1+3+5+7+...+（2x-1)=1000，其中1+3+5+7+...+（2x-1)=2（1+2+3+...+x）-x=（x+1)x-x=x*x=1000，解得x约等于31.622776601684 ，
取当分母为31时，总共有分式为1+3+5+7+...+（2*31-1）=2（1+2+3+...+31）-31=961，以后分母为32的分式有39个，
其中前961个的分式的和为1+2+3+4+...+31=16*31=496
后39个的分式的和为1/32+2/32+3/32+...+32/32+（31/32+30/32+29/32+28/32+27/32+26/32+25/32）
=32/32+（1/32+31/32+2/32+30/32+...+15/32+17/32+16/32）+（31/32+25/32+30/32+26/32+29/32+27/32+28/32）
=1+15+1/2+7*28/32=16+53/8
总和为496+16+53/8=512+53/8=4149/8

Answer 2

1024个数和为528，1000个数和为4149/8 ，即518.375

Answer 3

分母为n的分数，有2n-1个
分子的和，为：
1+2+。。+n+(n-1)+(n-2)+...+1
=2(1+2+...+n)-n
=2(1+n)*n/2-n
=n(n+1)-n
=n*n
那么分母为n的所有分数的和，为：n*n/n=n
从分母为1，到分母为n的所有分数的个数，为
1+3+5+。。。+(2n-1)
=(1+2n-1)*n/2
=n*n个
31*31=961
32*32=1024
1000-961=39
所以第1000个分数的分母为32
分子是第39个，
分母为32的这39个分数的和，为：
（1+2+3+。。。+32+31+30+。。。+25)/32
=724/32
=22.625
前1000个分数的和，为：
1+2+3+。。。+31+22.625
=496+22.625
=518.625

Answer 4

简单
先试试几个前面的和，当分母是1时，1/1=1；分母是2时1/2+2/2+1/2=2；分母为3时，1/3+2/3+3/3+2/3+1/3=3；……猜想当分母为n时，其和为n
以下论证：当分母为n时：中间必有一项为 n/n=1，且此项前后算式相等
1/n+2/n+3/+……+(n-1)/n+n/n+(n-1)/n+……+3/n+2/n+1/n=2[1/n+2/n+3/+……+(n-1)/n]+n/n=2[1+2+3+……+(n-1)]/n+n/n=n
即猜想符合实际
即上式即为1+2+3+……+999+1000=？
这个就不用我说了吧