Question

α,β,γ,θ∈(0,π/2),且α+β+γ+θ=π,求y=sinαsinβsinγsinθ最大值

已知θ∈(0,π),求证sinθ+1/2sin2θ+1/3sin3θ=0

Answer 1

因为α,β,γ,θ∈(0,π/2)，所以
sinα>0,sinβ>0,sinγ>0,sinθ>0，
由基本不等式，可知：
(sinαsinβsinγsinθ)^(1/4)<=(sinα+sinβ+sinγ+sinθ)/4，
当且仅当sinα=sinβ=sinγ=sinθ时，取等号。
sinα=sinβ=sinγ=sinθ时，α=β=γ=θ
因为α+β+γ+θ=π，所以α=β=γ=θ=π/4，
sinα=sinβ=sinγ=sinθ=√2/2。
所以y=sinαsinβsinγsinθ的最大值为：1/4。

因为θ∈(0,π)，
所以sinθ>0，
又sin3θ=sin(θ+2θ)=sinθcos2θ+cosθsin2θ=sinθ[1-2(sinθ)^2]+2sinθ(cosθ)^2
=sinθ[3-4(sinθ)^2]，
所以sinθ+1/2sin2θ+1/3sin3θ=sinθ+sinθcosθ+1/3sinθ[3-4(sinθ)^2]
=sinθ[1+cosθ+1-4/3(sinθ)^2]=1/3sinθ[2+3cosθ+4(cosθ)^2]
=1/3sinθ[(2cosθ+3/4)^2+23/16]>0。