Question

如图,在等腰Rt三角形ABC中,O是斜边AC的中点,P是斜边AC上的一个动点，D为线段BC上的一点，且PB=PD，

过点D作AC上的高DE
<1>求证：PE=BO
<2>设AC=8，AP=x,S△PBD为y,求y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围
<3>是否存在这样的点P，使△PBD面积是△ABC面积的（八分之三），如果存在，求出AP的长，如果不存在，说明理由

Answer 1

1>首先证明RT△BOP与△PED相似
设<PBO=a，<PDE=b
△PBD是等腰三角形。那么<PBD=<PDB=<PBO+45=a+45
DE垂直于AC，那么三角形DEC也是等腰直角三角形
<PDB+<PDE+<EDC=180
所以（a+45）+b+45=180
a+b=90
又因为直角三角形内角<PDE+<DPE=90
所以<DPE=<PBO
因此△BOP与△PED相似

PB=PD所以△BOP与△PED全等
所以 PE=BO
2>
y=S△ABC-S△APB-S△PDC
S△ABC=16
S△APB=1/2*AP*BO=1/2*X*4=2X
S△PDC=1/2*PC*DE=1/2*(8-X)*EC=1/2*(8-X)*(8-X-4)
y=S△ABC-S△APB-S△PDC=16-2x-1/2*(8-X)*(8-X-4)=4X-1/2X2
3>
S△PBD=S△ABC*3/8=16*3/8=6
y=4X-1/2X2=6
X2-8X+12=0求解即可
X=2;X=6

Answer 2

1>首先证明RT△BOP与△PED相似
设<PBO=a，<PDE=b
△PBD是等腰三角形。那么<PBD=<PDB=<PBO+45=a+45
DE垂直于AC，那么三角形DEC也是等腰直角三角形
<PDB+<PDE+<EDC=180
所以（a+45）+b+45=180
a+b=90
又因为直角三角形内角<PDE+<DPE=90
所以<DPE=<PBO
因此△BOP与△PED相似

PB=PD所以△BOP与△PED全等
所以 PE=BO
2>
y=S△ABC-S△APB-S△PDC
S△ABC=16
S△APB=1/2*AP*BO=1/2*X*4=2X
S△PDC=1/2*PC*DE=1/2*(8-X)*EC=1/2*(8-X)*(8-X-4)
y=S△ABC-S△APB-S△PDC=16-2x-1/2*(8-X)*(8-X-4)=4X-1/2X2
3>
S△PBD=S△ABC*3/8=16*3/8=6
y=4X-1/2X2=6
X2-8X+12=0求解即可
X=2;X=6

Answer 3

证三角形pbo与三角形dpo全等就行了，首先PB=PD，还有两个直角也相等，角BPC=180-角pBC-角C ，角PDE=180-角pBD-角EDC ，角pBC=角PDE（等腰三角形），角C=角EDC =45°
所以角BPC=角PDE，所以三角形pbo与三角形dpo全等