Question

急！已知F1,F2为椭圆x^2/100+y^2/b^2=1（0＜b＜10）的左右焦点，P是椭圆上一点。若∠F1PF2=60°且△F1PF2

急！已知F1,F2为椭圆x^2/100+y^2/b^2=1（0＜b＜10）的左右焦点，P是椭圆上一点。若∠F1PF2=60°且△F1PF2的面积为64√3/3，求b的值？

Answer 1

解:(1)由均值不等式、椭圆定义得
|PF1|*|PF2|=<[(|PF1|+|PF2|)/2]^2=(2a/2)^2=a^2
即|PF1|*|PF2|=<100
取等号时,得|PF1|*|PF2|最大值为100
此时,有且只有|PF1|=|PF2|=10

(2)为手机表达方便,在三角形F1PF2中,设|PF1|=m,|PF2|=n
由椭圆定义、余弦定理、面积公式,得
m+n=2a (1)
m^2+n^2-2mncos60=(2c)^2 (2)
S=1/2*mnsin60 (3)
注意到a^2-c^2=b^2,
解(1)、(2)、(3)得
S=b^2*tan30
--->(64根3)/3=b^2*(根3)/3
--->b^2=64
--->b=8 (另一根b=-8<0,舍)
还有一种方法
已知F1 F2 为椭圆x2/100+y2/b2=1 (0<b<10) 的左右焦点，P是椭圆上一点
1.求|PF1|*|PF2|的最大值
根据椭圆的定义，椭圆x^2/100+y^2/b^2=1（0＜b＜10）上一点P到左右焦点的距离之和|PF1|+|PF2|=2a=20
而，|PF1|+|PF2|≥2√[|PF1|*|PF2|]
所以，√[|PF1|*|PF2|]≤20/2=10
所以，|PF1|*|PF2|≤100
即，|PF1|*|PF2|的最大值为100

2.若角 F1PF2 =60°，且三角形F1PF2的面积为 （64根号3）/3 ,求b的值。
设|PF1|=m，|PF2|=n
由前面知，m+n=20……………………………………………（1）
已知，∠F1PF2=60°
由正弦定理知，△F1PF2的面积=(1/2)*|PF1|*|PF2|*sin∠F1PF2
=(1/2)mn*(√3/2)
=(√3/4)mn=(64√3)/3
所以，mn=256/3………………………………………………（2）
而，由余弦定理又有，F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2*PF1*PF2*cos∠F1PF2
即，(2c)^2=m^2+n^2-mn=(m+n)^2-3mn
将(1)(2)代入上式得到：4c^2=400-256=144
所以，c^2=36
而，c^2=a^2-b^2=100-b^2
所以，b^2=100-36=64
所以，b=8

Answer 2

PF1=r1
PF2=r2
1/2*r1*r2*sin60==64√3/3
r1*r2==256
在运用余弦定理可得b==8