Question

问三道初二数学题

1.已知x+1∕ y=z+1∕ x=1，求y+1∕ z的值
2.a.b.c为实数，且ab/a+b=1/3,bc/b+c=1/4,ca/c+a=1/5,求abc/ab+bc+ca
3.a.b.c互不相等，且a.b.c不为0。a的平方=bc,b的平方=ca,证<1>c的平方=ab <2>a+b+c=0 <3>1/a+1/b+1/c=0

在下不会打分数线，还请亲们将就着看，帮在下想想。

Answer 1

1、由已知条件得：（1）x=1-1/y; (2)1/x=1-z 两式相乘得：1=（1-1/y)*(1-z),化简得y+1/z=1
2、因为ab/（a+b）=1/3，所以两边同求倒得1/a+1/b=3
因为bc/(b+c)=1/4，所以两边同求倒得1/b+1/c=4
因为ca/c+a=1/5，所以两边同求倒得1/a+1/c=5
所以由以上三式相加得1/a+1/b+1/c=6,即（ab+bc+ac)/abc=6
而abc/(ab+bc+ca)=1/6
3、（1）a的平方=bc,b的平方=ca，两式左右相乘，（ab)^2=(ab)*c^2,因为a、b、c均不为0，所以两边同除以ab,得c^2=ab
(2)a^2=bc,b^2=ac,两式相加得：a^2+b^2=(a+b)*c,两边同时加上2ab, 得到：(a+b)^2=(a+b)*c+2ab=(a+b)*c+2c^2,移向得：（a+b)^2-(a+b)*c-2c^2=0,所以：{（a+b)-2c}*{a+b+c}=0,若a+b-2c=0,则a+b=2c,两边平方得a^2+2ab+b^2=4c^2=4ab,所以a^2-2ab+b^2=0.即(a-b)^2=0,得到a-b=0，由已知知道a、b、c互不相等，所以a+b-2c不等于0，则a+b+c=0
(3)1/a+1/b+1/c=(bc+ac+ab)/abc,由（2）a+b+c=0,两边平方得a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0,因为a^2=bc,b^2=ac,c^2=ab,所以3(ab+bc+ac)=0,ab+bc+ac=0,所以1/a+1/b+1/c=(bc+ac+ab)/abc=0

Answer 2

第一题：ZY+Y=X*X+X后面自己想吧。

Answer 3

1.已知x+1∕ y=z+1∕ x=1，求y+1∕ z的值
由x=1-1/y=(y-1)/y，1/x=1-z
得(y-1)/y=1/(1-z)
1-1/y=1/(1-z)
1/y=-z/(1-z)
y=(z-1)/z
y=1-1/z
即y+1/z=1

2.a.b.c为实数，且ab/a+b=1/3,bc/b+c=1/4,ca/c+a=1/5,求abc/ab+bc+ca
由ab/a+b=1/3得（a+b)/ab=3,a/ab+b/ab=3;1/b+1/a=3①
同理可得1/b+1/c=4②; 1/a+1/c=5③
有（①+②+③）÷2得1/a+1/b+1/c=6
即（bc+ac+ab)/abc=6
∴abc/(ab+bc+ca)=1/6

3.a.b.c互不相等，且a.b.c不为0。a的平方=bc,b的平方=ca,证<1>c的平方=ab <2>a+b+c=0 <3>1/a+1/b+1/c=0
⑴a²=bc① b²=ac②
①×②得a²b²=abc²
即c²=ab③
⑵结论有问题!由①②③可得a,b,c同号，即a+b+c≠0.除非a=b=c=0。这又不符合题意。
由①+②+③得
a²+b²+c²=bc+ac+ab
2a²+2b²+2c²-2bc-2ac-2ab=0
(a-b)²+(b-c）²+（a-c)²=0
而(a-b)²≥0，(b-c）²≥0，（a-c)²≥0
∴a-b=0;b-c=0.a-c=0
即可得a=b=c

⑶1/a+1/b+1/c
=3/a