Question

一道复数解答题

设Z是虚数，W=Z+1/Z且-1≤W≤1 ，求|Z|的值及Z的实部的取值范围.
(2)若B=1-Z/1+Z,求证B为纯虚数

Answer 1

(1)令z=a+bi，有w=z+1/z=a+bi+1/(a+bi)=(a^2+2abi-b^2+1)/(a+bi)=(a^2-b^2+1+2abi)/(a+bi)
即a^2-b^2+1+2abi=w(a+bi)
w能与实数比较大小表示w是实数，表示a^2-b^2+1+2abi=w(a+bi)=aw+bwi这个等式中aw就是实部，bw就是虚部，有a^2-b^2+1=aw和2ab=bw
求解这个方程组，可得w=2a，然后有a^2+b^2=1
所以|z|=a^2+b^2=1，同时有-1≤w=2a≤1，即实部a的范围是[-1/2,1/2]
(2)根据上题，有
B=(1-z)/(1+z)
=(1-a-bi)/(1+a+bi)
=[(1-a-bi)(1+a-bi)]/[(1+a+bi)(1+a-bi)]
=[(1-bi)^2-a^2]/[(1+a)^2+b^2]
=(1-2bi-b^2-a^2)/(1+2a+a^2+b^2)
应用上面的a^2+b^2=1有
B=-2bi/(2+2a)=-bi/(1+a)
上面还能得到a^2≤1/4，即3/4≤b^2，b不为0，所以B的实部为0，虚部不为0，B是纯虚数
PS：其实第一题也可以像第二题那样把分母化为实数来计算