Question

求证:当x>0时,1/(x+1)<ln(1+x)/x

写出必要过得过程，清楚就好。

Answer 1

法1.
利用函数单调性证明
移项即证ln(1+x)-x/(x+1)>0,x>0
令f(x)=ln(1+x)-x/(x+1),x>=0
求导f'(x)=1/(x+1)-[(x+1)-x]/(x+1)^2=x/(x+1)^2>0,(x>0)
知f(x)在x>0上单调递增，又f(x)可在x=0处连续。
则有f(x)>f(0)=0
即ln(1+x)-x/(x+1)>0
亦即1/(x+1)<ln(1+x)/x，x>0命题得证。

法2.
中值定理证明
记f(x)=ln(x+1),g(x)=x,(x>0)且g'(x)≠0，f(0)=g(0)=0
显然两函数在[0,x]上满足柯西中值定理条件
则存在ξ∈(0,x),使得[ln(x+1)]/x=f(x)/g(x)=[f(x)-f(0)]/[g(x)-g(0)]=f'(ξ)/g'(ξ)=1/(1+ξ)
因为1/(1+ξ)>1/(1+x),其中ξ∈(0,x),
于是得到[ln(x+1)]/x>1/(1+x),x>0命题得证。