Question

高一数学 高手求解 若四边形ABCD中,满足向量ABx向量BC=向量CDx向量DA,AB与CD模长相等，证明它是平行四边形

若四边形ABCD中,满足向量ABx向量BC=向量CDx向量DA,AB与CD模长相等，证明它是平行四边形

Answer 1

证明：设 向量x =AB,
向量y =BC,
向量z =CD,
向量w =DA.
则 x+y+z+w=0. (1)
由已知,
x*y =z*w, (2)
|x| =|z|. (3)

由(1)得
x+y = -(z+w),
即 x^2 +2 x*y +y^2 =z^2 +2 z*w +w^2. (4)

由(3)得
x^2 =z^2. (5)
由 (2)(4)(5) 得
y^2 =w^2,
即 |y| =|w|.

所以 |AB| =|CD|,
|BC| =|DA|,
所以 四边形ABCD 是平行四边形.

= = = = = = = = =
(1)换元法。
(2)向量模的问题，考虑平方。
(3)平行四边形性质。