Question

用向量法证明已知正四面体ABCD，若AB垂直CD，AD垂直BC，则AC垂直BD

Answer 1

令向量AB=d,向量AC=c,向量AD=d
则向量CD=AD-AC=d-c, BC=AC-AB=c-b, BD=AD-AB=d-b
因为AB垂直CD，AD垂直BC
所以AB点乘CD=0，即b点乘（d-c）=0，就有b点乘d=b点乘c
同理，d点乘c=d点乘b
所以d点乘c=b点乘c
那么有，AC点乘BD=c点乘（d-b）=c点乘d-c点乘b=0
所以AC垂直BD

Answer 2

分析法：
在底面三角形BCD中找一点A的射影O，连接BO,DO,CO.根据射影定理BO⊥CD,DO⊥BC，再根据三角形三条高线交与一点得出，CO⊥BD，而O是A在三角形BCD的射影，所以，AC⊥BD

综合法：(向量法）该问所有字母表示的是向量 ac*bd=（ab+bc）（bc+cd）=ab*bc+ab*cd+bc^2+bc*cd=ab*bc+bc^2+bc*cd=bc*(ab+bc+cd）=bc*ad=0 所以垂直