Question

已知函数f(x)=ax^3-3/2x^2+1(x属于r),其中a>0 ,若在区间[-1/2,1/2]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围

要详细过程，谢谢！~

Answer 1

已知函数f(x)=ax^3-3/2x^2+1(x属于r),其中a>0 ,若在区间[-1/2,1/2]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围
解析：∵函数f(x)=ax^3-3/2x^2+1(x属于r),其中a>0
令f’(x)=3ax^2-3x=0==>x1=0，x2=1/a
f”(x)=6ax-3==> f”(0)=-3<0，∴函数f(x)在处取极大值1；
f”(1/a)=3>0，∴函数f(x)在处取极小值1-1/(2a^2)；
f(-1/2)=(5-a)/8，f(1/2)=(5+a)/8
∴若在区间[-1/2,1/2]上，f（x）＞0恒成立，只需(5-a)/8>0==>a<5
∴a的取值范围0<a<5

Answer 2

你这道题，我的理解方式有好多种，不知道是那一种，最简单的一种：f(x)=ax^3-(3/2)x^2+1
第二种：f(x)=（ax^3-3）/（2x^2）+1
第三种：f(x)=ax^3-3/（2x^2+1）
如果是第一种，则很简单，你知道f(x)=x^3的图像吧，是个单调递增的图像，所以道理是一样的，因为a>0,所以：令：f(-1/2)>0 f(1/2)>0 即可，然后结合a>0 就可得出结果。
第二种雷同，只需要把等式变换下下就好。
第三种更简单，因为除号下面是正数，所以，只要上面满足条件即可。