Question

设函数f(x)在区间[a,b]上连续,证明:∫f(x)dx=f(a+b-x)dx

函数都是上线为b 下线为a

Answer 1

证明：做变量替换a+b-x=t,则dx=-dt,当x=b,t=a,当x=a,t=b

于是∫(a,b)f(a+b-x)dx

=-∫(b,a)f(t)dt

= ∫(a,b)f(t)dt

=∫(a,b)f(x)dx

即∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f(a+b-x)dx

扩展资料：

不定积分基本公式 

1、∫cosxdx=sinx+C             

2、∫tanxdx=−ln|cosx|+C              

3、∫1/xdx=ln|x|+C           

4、∫sinxdx=−cosx+C

Answer 2

证明：做变量替换a+b-x=t,则dx=-dt,当x=b,t=a,当x=a,t=b
于是
∫(a,b)f(a+b-x)dx =-∫(b,a)f(t)dt= ∫(a,b)f(t)dt=∫(a,b)f(x)dx
即∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f(a+b-x)dx
命题得证。
【注：紧跟积分符号后面的为积分区间】

Answer 3

如图

Answer 4

因为积分区域D关于直线y=x对称，所以二重积分满足轮换对称性，即

∫∫(D) e^[f(x)-f(y)]dxdy=∫∫(D) e^[f(y)-f(x)]dxdy
=(1/2)*{∫∫(D) e^[f(x)-f(y)]dxdy+∫∫(D) e^[f(y)-f(x)]dxdy}
=(1/2)*∫∫(D) {e^[f(x)-f(y)]+e^[f(y)-f(x)]}dxdy
>=(1/2)*∫∫(D) 2*√{e^[f(x)-f(y)]*e^[f(y)-f(x)]}dxdy
=∫∫(D) dxdy
=(b-a)^2

Answer 5

证明：做变量替换a+b-x=t,则dx=-dt,当x=b,t=a,当x=a,t=b
于是
∫(a,b)f(a+b-x)dx =-∫(b,a)f(t)dt= ∫(a,b)f(t)dt=∫(a,b)f(x)dx
即∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f(a+b-x)dx
命题得证。