Question

高中数学问题，有关于导数的小问题，麻烦看下谢谢拉 ！！！！！！

已知ax^3-x^2-x+1,当x属于[0,1]时f(x)≥0恒成立,求a的取值范围
拜托教下用求导后二次函数讨论的方法！！！

Answer 1

说明一下，三次函数图像主要两种，增减增，减增减，有相对最高最低点，这是突破口。
解：当X=0，f(x)=1，恒大于0
当X=1，f(x)=a-1，f(x)≥0恒成立，就是a>=1
求导f'(x)=3ax^2-2x-1，代入X=0,1，得到f'(x)= -1, 3(a-1)。由于a>=1，3(a-1)≥0，
就是f(x)在[0,1]是一个递减再变到递增的过程，存在相对最低点，就叫做G点吧，
只要G点处，f(x)≥0，那其他什么都no problem了。明显的，最低点就是该处导数为零，
f'(x)=0的解法用求根公式“2a分之负b加减根号b平方减4ac”。
这里顺便得到一个关系，根号里大于等于0，得出a>=-1/3
G点约分后就是X=3a分之1正负根号（1+3a），分别大于等于0
由于a>=1,分母直接省去，只有1加根号....的符合，那就是最低点，解除a>=-1/3
啰嗦一下，另一个解1减根号....是最高点，不在[ 0,1]的约束内，这句话不用写在答案纸上。
综上，a就只有大于等于1的命。

Answer 2

f′(x)＝3ax²－2x－1 对称轴x＝1／（3a）
f（0）＝1 ，f（1）＝a－1≥0 a≥1，f′(x)＝3ax²－2x－1开口向上
f′（0）＝－1这说明函数在[0，t]单减f′(x)＝3ax²－2x－1＝0求得正根t=[1＋√（1＋3a）]／（3a）
即ax^3-x^2-x+1在t=[1＋√（1＋3a）]／（3a）取得极小值
事实上a＝1时t=1
a越大t越小带入解不等式at^3－t^2－t＋1≥0麻烦。。

Answer 3

ax^3-x^2-x+1)≥0恒成立
代入X=1
解A-1≥0
。。。。。。。。。。。
是和导数没关系还是我做错了。。。。

Answer 4

求导后f'(x)=3ax^2-2x-1,令f('x)=0,解得根x1,x2,当x=0,原函数f(x)=1
讨论f'(x)的根在区间[0,1]内的情况判断原函数的单调性,已知三次函数的图像是单调不变的(要么增要么减,不存在又增又减的情况),如果单调递减,则要原函数f(x)在x2的值>=0,如果单调递增,则要原函数在(0,无穷大)内必定大于1,也就是大于0