Question

如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，OG⊥BC，垂足为G,

当∠BAC=50°时，∠BOC=------°
当∠BAC=90°时，∠BOC--------°
当∠BAC=120°时，∠BOC=-----°

猜想∠BOC与∠BAC之间的数量关系，并说明理由

∠DOB与∠GOC相等吗？为什么？

Answer 1

∠BOC=115° ∠BOC=135° ∠BOC=150°
猜想是：∠BOC总等于90°加∠BAC的一半。理由：任何三角形的一个外角都等于和它不相邻的两个内角之和。即∠BOD=∠BAO+∠ABO， ∠COD=∠CAO+∠ACO，且∠BOC=∠BOD+∠COD。所以∠BOC=(∠BAO+∠ABO)+(∠CAO+∠ACO)=∠BAO+(∠CAO+∠ABO+∠ACO)=∠BAO+(∠ABO+∠ACO+∠CAO)=(1/2)[∠BAC+(∠BAC+∠ABC+∠ACB)]=（1/2）[∠BAC+180°]=90°+(1/2)∠BAC.
所问的两角不相等。∵DOB-GOC=[90°-(1/2)∠C]-[90°-(1/2)∠B]=(1/2)(∠C-∠B)＜0.且从图中可以看出∠C＞∠B.∴∠DOB＜∠GOC。

Answer 2

∠BOC=115° ∠BOC=135° ∠BOC=150°
猜想是：∠BOC总等于90°加∠BAC的一半。理由：任何三角形的一个外角都等于和它不相邻的两个内角之和。即∠BOD=∠BAO+∠ABO， ∠COD=∠CAO+∠ACO，且∠BOC=∠BOD+∠COD。所以∠BOC=(∠BAO+∠ABO)+(∠CAO+∠ACO)=∠BAO+(∠CAO+∠ABO+∠ACO)=∠BAO+(∠ABO+∠ACO+∠CAO)=(1/2)[∠BAC+(∠BAC+∠ABC+∠ACB)]=（1/2）[∠BAC+180°]=90°+(1/2)∠BAC.
所问的两角不相等。∵DOB-GOC=[90°-(1/2)∠C]-[90°-(1/2)∠B]=(1/2)(∠C-∠B)＜0.且从图中可以看出∠C＞∠B.∴∠DOB＜∠GOC。

Answer 3

∠BOC=115° ∠BOC=135° ∠BOC=150°
猜想是：∠BOC总等于90°加∠BAC的一半。理由：任何三角形的一个外角都等于和它不相邻的两个内角之和。即∠BOD=∠BAO+∠ABO， ∠COD=∠CAO+∠ACO，且∠BOC=∠BOD+∠COD。所以∠BOC=(∠BAO+∠ABO)+(∠CAO+∠ACO)=∠BAO+(∠CAO+∠ABO+∠ACO)=∠BAO+(∠ABO+∠ACO+∠CAO)=(1/2)[∠BAC+(∠BAC+∠ABC+∠ACB)]=（1/2）[∠BAC+180°]=90°+(1/2)∠BAC.
所问的两角不相等。∵DOB-GOC=[90°-(1/2)∠C]-[90°-(1/2)∠B]=(1/2)(∠C-∠B)＜0.且从图中可以看出∠C＞∠B.∴∠DOB＜∠GOC。

Answer 4

∠DOB与∠GOC相等
∵AD、BE、CF是角平分线
∴∠1＋∠2＋∠4＝90°
∵∠3＝∠1＋∠2
∴∠3＋∠4＝90°
∵∠COG＋∠4＝90°
∴∠3＝∠COG
即∠BOD＝∠COG

Answer 5

∠BOC=115° ∠BOC=135° ∠BOC=150°
猜想是：∠BOC总等于90°加∠BAC的一半。理由：任何三角形的一个外角都等于和它不相邻的两个内角之和。即∠BOD=∠BAO+∠ABO， ∠COD=∠CAO+∠ACO，且∠BOC=∠BOD+∠COD。所以∠BOC=(∠BAO+∠ABO)+(∠CAO+∠ACO)=∠BAO+(∠CAO+∠ABO+∠ACO)=∠BAO+(∠ABO+∠ACO+∠CAO)=(1/2)[∠BAC+(∠BAC+∠ABC+∠ACB)]=（1/2）[∠BAC+180°]=90°+(1/2)∠BAC.
所问的两角不相等。∵DOB-GOC=[90°-(1/2)∠C]-[90°-(1/2)∠B]=(1/2)(∠C-∠B)＜0.且从图中可以看出∠C＞∠B.∴∠DOB＜∠GOC。

Answer 6

相等