Question

已知双曲线X^2/9 - Y^2/16=1 ,过其右焦点F的直线交双曲线于PQ两点,PQ的垂直平分线交X轴于点M,则

|MF|/|PQ|的值为多少?
哪位高手帮我写一下详细步骤,小妹万分感谢

Answer 1

双曲线x^2/9-y^2/16=1，则：a=3，b=4，c=5，右焦点F(5，0)，右准线：x=9/5。
当直线PQ的斜率不存在时，易知：|MF|=0，所以|MF|/|PQ|=0。
当直线PQ的斜率存在时，设为k，又设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(x1>0，x2>0)
则：k=(y2-y1)/(x2-x1)，直线PQ：y=k(x-5)。
又点P，Q在双曲线上，所以x1^2/9-y1^2/16=1，x2^2/9-y2^2/16=1，
两式相减得：(x1^2-x2^2)/9=(y1^2-y2^2)/16，
PQ的中点( (x1+x2)/2，(y1+y2)/2 )，
PQ的垂直平分线：y-(y1+y2)/2=-1/k*[x-(x1+x2)/2]，
所以点M( (x1+x2)/2+k(y1+y2)/2，0 )，
又k=(y2-y1)/(x2-x1)，(x1^2-x2^2)/9=(y1^2-y2^2)/16，
所以点M( 25(x1+x2)/18，0 )，
所以|MF|=|25(x1+x2)/18 -5|。
而|PQ|=|PF|+|QF|，
P到右准线的距离d1为：x1-9/5，Q到右准线的距离d2为：x2-9/5，
由双曲线的定义可知：|PF|/d1=|QF|/d2=e=5/3，
所以|PQ|=|PF|+|QF|=5/3(x1+x2-18/5)，
所以|MP|/|PQ|=5/6。

方法就是这样，你自己再去算算吧。

Answer 2

设PQ:y=kx-5k P(x1,y1) Q(x2,y2) PQ中点N（x0,y0)
16x^2-9(kx-5k)^2=144
(16-9k2)x^2+90k2x-225k2-144=0
x1+x2=90k2/(9k2-16)
x1x2=-(225k2+144)/(9k2-16)
y1+y2=k(x1+x2)-10k
所以x0=45k2/(9k2-16)
y0=[k(x1+x2)-10k]/2
|PQ|=96(1+k2)/(9k2-16)
MN方程：y=-1/k[(x-45k2/(9k2-16)]=80k/(9k2-16)
y=0代入
x=125k^2/(9k2-16)
即M（125k^2/(9k2-16),0)
|MF|=(80k2+80)/(9k2-16)
所以|MF|/|PQ|=5/6

Answer 3

条件有缺少吧？M是干嘛的都没说~~