Question

高中数学 全部要求用反证法做

1.已知p³+q³=2，求证p+q<=2 要求用反证法做。
2.求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60°
3.已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证a>0
请详细写过程。
谢谢！

Answer 1

1.假设p+q>2，则p>2-q，则p³>(2-q)³，于是p³+q³>(2-q)³+q³=8-12q+6q²-q³+q³=8-12q+6q²
=6(q-1)²+2>=2，于是推出p³+q³>2与p³+q³=2矛盾。
2.若三个角全小于60°，则三个角的和小于180°，与三角形内角和=180°相矛盾。
3.假设a<0，因为abc>0，所以bc<0，又因为ab+bc+ca>0，于是，ab+ca>0，于是，a(b+c)>0，又因为a<0，所以b+c<0，所以a+b+c<0，这与条件中的a+b+c>0矛盾，所以假设不成立，a>0。