Question

已知abc是三角形三边的长,求证1<a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)<2

Answer 1

因为a、b、c是三角形的三边，则都大于零
故a/(b+c)>a/(b+c+a)
b/(a+c)>b/(a+c+b)
c/(a+b)>c/(a+b+c)
所以a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>a/(b+c+a)+b/(b+c+a)+c/(b+c+a)=1
又因为两边之和大于第三边
则a+b-c>0 c(a+b-c)>0
c(a+b-c)+ac+bc-ac-bc>0
2ac+2bc-c(a+b+c)>0
2c(a+b)>c(a+b+c)
2c/(a+b+c)>c/(a+b)
同理可证 2b/(a+b+c)>b/(a+c) 2a/(a+b+c)>a/(b+c)
所以a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)<2a/(b+c+a)+2b/(b+c+a)+2c/(b+c+a)=2
得证

Answer 2

因为：三角形任意两边大于第三边
所以：0<a/(b+c)<1
0<b/(a+c)<1
0<c/(a+b)<1
所以：1<a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)<2
所以若abc是三角形三边的长,求证1<a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)<2 成立

追问

是我的脑袋有问题还是您的回答有问题，ms我没看懂啊

Answer 3

a/(b+c)>a/(b+c+a)
b/(a+c)>b/(a+c+b)
c/(a+b)>c/(a+b+c)
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>a/(b+c+a)+b/(b+c+a)+c/(b+c+a)=1
所以左边成立
a/(b+c)<(a+a)/(a+b+c)
b/(a+c)<(b+b)/(a+b+c)
c/(b+c)<(c+c)/(a+b+c)
所以右边成立