Question

u=f(ux,v+y),v=g(u-x,v^2y)其中f,g具有一阶连续偏导数，求u对y的偏导

u=f(ux,v+y),v=g(u-x,v^2y)其中f,g具有一阶连续偏导数，求u对y的偏导

Answer 1

隐函数求偏导可以用雅可比式：

偏导u/x=（-FxGv+FvGx）/（FuGv-FvGu）

偏导v/x=（-FuGx+FxGu）/（FuGv-FvGu）。

例如：

dz/dx=f(y/x)+xf(y/x)'(-y/x^2)

dz^2/dx^2=f(y/x)'(-y/x^2)+f(y/x)''(-y/x)+f(y/x)'(y/x^2)=-f(y/x)''(y/x)

du/dx=df'(ux)/dx*(ux)'+df'(v+y)/dx*(v+y)'

几何意义

偏导数f'x（x0，y0）表示固定面上一点对x轴的切线斜率；偏导数f'y（x0，y0）表示固定面上一点对y轴的切线斜率。

高阶偏导数：如果二元函数z=f（x，y）的偏导数f'x（x，y）与f'y（x，y）仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为z=f（x，y）的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

以上内容参考：百度百科-偏导数

Answer 2

这个隐函数求偏导可以用雅可比式：

F(x,y,u,v)=f(ux,v+y)-u=0

G(x,y,u,v)=g(u-x,y*v^2)-v=0

偏导u/x=(-FxGv+FvGx)/(FuGv-FvGu)

偏导v/x=(-FuGx+FxGu)/(FuGv-FvGu)。

扩展资料：

当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。

参考资料来源：百度百科-偏导数

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

Answer 5

难度好大！