Question

一道高考数学题，高手请进

设S是至少含有两个元数的集合，在S上定义了一个二元运算“* "(即对任意的a,b∈S，对于有序元素对（a,b),S 中有唯一确定的元素a*b与之对应），若对任意的a,b∈S，有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S，下列等式中不恒成立的是（ ）
A（a*b)*a=a B [a*(b*a)]*（a*b)=a C b*(b*b)=b D, (a*b)*[b*(a*b)]=b
求详细解答！！！不要Ctrl+C====Ctrl+V！！！
及时采纳！！！！！
答案选A！！！

Answer 1

显然是A。这种题最好用排除法啦。
首先说说题目的条件，其实这么3行问题，很多都是废话，只是为了数学上的严谨。你只要知道
a*(b*a)=b就行了。
A选项外形上看，和a*(b*a)=b不能直接转换，放一边。
B选项， [a*(b*a)]*（a*b) 可以发现a*(b*a)=b，于是变为b*(a*b) ，这样子的形式又和条件a*(b*a)=b相似，只要把a当成b，b当成a就可以了，所以b*(a*b)=a。B选项恒成立。
C选项只要把条件a*(b*a)=b中的a当成b，就可以了，因此b*(b*b)=b 恒成立。
D选项，(a*b)*[b*(a*b)]=b，可以看到，式子中只是用(a*b)代替了条件a*(b*a)=b中a的位置罢了，因此也是恒等于b的。

排除法，只有A了。确实，仅仅通过条件，很难对(a*b)*a进行下一部的化简。括号很难打开运算。所以A不能恒成立

追问

B、D我懂的，就是A、C选项!为什么A错，原条件“a*(b*a)=b“[你回答的B中b*(a*b)=a假设算是对的，那么*a(a*b) =a错在哪里，就是括号外的a、b不一样，为什么一个对，一个是错的。 ] 为什么a,b对换得不一样就错了。
而C，为什么a换成b就成立了，而A不行。

追答

首先明确一条就是，数学定义的运算里面不能随意用交换律和结合律，尤其是条件没有直接说明。到了大学，你很快会知道这一点。

第二，题目条件是a*(b*a)=b，我表示为A*（B*A）=B，当A=B=b的时候，是不是就很容易可以看出来b*(b*b)=b呢？并不是简单的A=B，而是A=b，同时B=b。所以要明白原来条件里面的a、b不是代表一个数，而是代表一个位置而已。

第三，再说回原来的A选项。正如我刚刚说的“原来条件里面的a、b不是代表一个数，而是代表一个位置而已”，因此，你不能随便把括号打开。为什么我们现在说的（3×2）×4=4×2×3？是因为四则运算乘法法则里面明确定义了乘法交换律，也定义了结合律。因此我们才能进行打开括号的运算。

总而言之，还是一句话，“条件里面的a、b不是代表一个数，而是代表一个位置而已”，条件没有说a、b位置可以互换，你就不能随意互换。因为不满足交换律和结合律的运算是相当多的。

追问

同感！我和你想的一样！但是A不等于B不等于b的情况你考虑过没？，A之所以错是错在 a不等于b时的情况！

追答

但是A不等于B不等于b的情况，就不是b*(b*b)=b了啊。
C选项中，明确说了是求b*(b*b)的值。从位置上看，就是A=b，B=b了。所以才能进行运算啊。如果A处的值不等于B处的值，不就是原条件的a*(b*a)=b了吗？

你钻牛角尖了。

追问

那么a*(a*a)=a////b*(b*b)=a/////a*(a*a)=b 是不是对的？

追答

只有a*(a*a)=a是对的啊。
题目前面不是有很多废话吗？其实废话就是告诉你，有这样的一种运算，一条式子，有A、B两种位置（注意，是位置），当某两个数字（可以相等）以这样的方式放于A、B位置时候
——A*(B*A)，则运算后，等于B位置的值，即A*(B*A)=B。

a*(a*a)相当于把a这个数字放入A、B两个位置里面了，也就是符合A*(B*A)的放置方式，因此等于B位置的数字，B位置中放的是a，因此a*(a*a)=a

b*(b*b)也符合A*(B*A)的放置方式，而B位置中放的是b。因此b*(b*b)=b

Answer 2

题中是要求 等式不恒成立
对 A ① 当 a=b 恒 成立 ， ②当 a≠b时 ，就得不到等式了 。
所以 综合 ①和② 等式（a*b)*a=a 不一定成立
对 C 不管 b为何只值时 都可以根据题中 a*(b*a)=b 得到 b*(b*b)=b
所以C式恒成立
对B [a*(b*a)]*（a*b)=b*（a*b)=a 恒成立
对D (a*b)*[b*(a*b)]=(a*b)*a=b 恒成立

追问

我就是问这个 “a*(b*a)=b”是怎么推出b*(b*b)=b的。

Answer 3

选择B，[a*(b*a)]*（a*b)=b*(a*b)=a

追问

答案选A！！！希望你再三考虑下，谢谢！！！