Question

已知椭圆的焦点在X轴上，短轴为4，离心率为5分之根号5。若直线L过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且|M

且|MN|=16/9倍根号5，求直线L的方程

Answer 1

已知椭圆的焦点在X轴上，短轴为4，离心率为5分之根号5。若直线L过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且|MN|=16/9倍根号5，求直线L的方程。
解：介绍常规做法
根据题意b=4/2=2，b²=4
c/a=√5/5
c²=1/5a²
b²+c²=a²
所以a²=5,c²=1
椭圆方程：x²/5+y²/4=1
左焦点（-1，0）设经过左焦点的直线为x=my-1代入椭圆方程
整理：(4m²+5)y²-8my-16=0
韦达定理：y1+y2=8m/(4m²+5),y1*y2=-16/(4m²+5)
利用弦长公式：MN=√(1+m²)[(y1+y2)²-4y1y2]
(1+m²)[64m²/(4m²+5)²+64/(4m²+5)]=1280/81
化简：81(m²+1)²=4(4m²+5)²
9(m²+1)=2(4m²+5)
9m²-8m²=10-9
m²=1
m=1或-1
所以直线为：x=y-1即x-y+1=0会x=-y-1即x+y+1=0

Answer 2

解：因为短轴为4，所以b=2，e=c/a=根号5/5,所以c方/a方=1/5，所以a方=5c方，即b方+c方=5c方，b方=4c方，所以c方=1，所以a方=5，这样椭圆的方程就是x方/5+y方/4=1,左焦点为（-1,0），左准线为x=-5，
因为MN=MF+FN=e（xM+5）+e（xN+5）=10e+e（xM+xN) （1） (这里运用椭圆的第二定义：点到焦点的距离是到准线距离的e倍，）然后设直线方程为y=k(x+1),和椭圆的方程联立消去y得：（4+5k方)x方+2k方x+k方-20=0，所以xm+xN=-2k方/(4+5k方），代入（1）式得：10×根号5/5+根号5/5×[-2k方/(4+5k方）]=16根号5/9，解得k=___,后面我就不解了，思路就是这样的，不懂的话可以留言给我，我在线等。