Question

高中数学题

证f(x)=e^x+1/e^x在（0，正无穷）上单调为增
用导数法，可是我求出来f`(x)在区间上＜0，这是哪儿出错了？（请问1/e^x的导数怎么求?)
我的证法：f`(x)=e^x+(-e^x)/e^2x ➹

Answer 1

证明：由f ' (x) = (e^x) ' + (e^( - x)) ' —— 导数对加法的分配律
= e^x + e^( - x)*(( - x) ' ) —— 导数的链式法则
= e^x - e^( - x)
在 x>0 上，e^x>1，0< e^( - x) <1。
则在 x>0 上，f ' (x) >0，即：f(x)在 x>0 上单调递增。

错误原因：没有正确运用微分的链式法则。
若 f(x)=g(u(x))，则：f ' (x)= g ' (u(x)) * (u ' (x))。
此题中，将e^(-x) 看成是 g(u)=e^u 和 u(x)= - x的复合即可。

Answer 2

1/e^x=e^(-x)=f(x)对它求导好象是f`(x)=-e^(-x)=-1/e^x
你的思路是对的，求导错了
f`(x)=e^x-1/e^x在（0，正无穷）上大于零

Answer 3

(1/e^x)'=[e^(-x)]'=-e^(-x)=-1/e^x
不要把指数函数的导数和分式函数的导数弄混了
建议仔细领悟复合函数求导
不过话说回来用分式求导也是可以的
(1/e^x)=[0-(e^x)]/(e^x)^2=-e^(-x)=-1/e^x
顺便说一下，第一个回答貌似有误

Answer 4

（1/e^x）=-（1/e^x）

Answer 5

1/e^x=e^(-x)=f(x)，f`(x)=-e^(-x)=-1/e^x

Answer 6

1/e^x的导数可以这样求 1/e^x=e^(-x) 所以他的倒数是 -e^(-x)
f(x)的倒数是 f`(x)=e^x-e^(-x)
设g(x)=f`(x)= e^x-e^(-x)
g'(x)=e^x+e^(-x) g'(x)恒大于0 所以g(x)递增 即f'(x)递增
又f'(0)=1-1=0 故在（0，正无穷）上f'(x)>0恒成立
所以f(x)在（0，正无穷）上单调为增

希望能帮到你、