Question

利用导数求最值。

f(x)=x^2-2(m-1)x+4，在[1,5]上最小值为2，求m值。
怎么解啊？这类反推的的题，有什么技巧么？

Answer 1

f'(x)=2x-2(m-1) 令f'(x)=0则x=m-1
当x<m-1时f'(x)<0
当x>m-1时f'(x)>0
所以f（x）在[1,5]上最小值为f(m-1).
f(m-1)=-(m-1)²+4=2,则m=1±√2，又x属于[1,5],所以m=1+√2

追问

做这类题有什么技巧么？没找到规律……
如果有的话，能帮我整理一下么？
可以追加分的。

追答

这类题要注意f(x)在令f'(x)=0的点两边的单调性。
如果不确定，可以分别求出区间端点的函数值，与驻点函数值比较下。当然最后要注意所求参数的取值范围，然后确定参数。

这类题要注意f(x)在令f'(x)=0的点两边的单调性。
如果不确定，可以分别求出区间端点的函数值，与驻点函数值比较下。当然最后要注意所求参数的取值范围，然后确定参数。

Answer 2

f(x) = x² - 2(m-1)x + 4
df/dx = 2x - 2(m-1)
Let df/dx = 0
We have x = m - 1
∵ d²f/dx² = 1
∴ f(m-1) is minimum value
∴ (m-1)² - 2(m-1)² + 4 = 2
∴ (m-1)² = 2
m₁= 1 + √2，m₂= 1 - √2（Rej舍去）
如果是选择题，就不必严格解答二次导数，
直接代入以次导数的结果后解出来。

Answer 3

这个无需导数，要对m进行分区间讨论

Answer 4

对称轴为x0=m-1
分类：
若m-1<1, 最小值为x=1时， f(1)=7-2m=2 所以m=2.5 (舍去)
若m-1>5, 最小值为x=5时，f(5)=39-10m=2. 所以m=3.7（舍去）
若 1<m-1<5, 最小值为x=m-1时， f(m-1)=4-(m-1)^2=2 m=1+根号2