用数学归纳法证明1+1/2+1/3+…+1/(2^n-1)<n
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1 n=2满足
2设n=k-1满足，证n=k满足即可（相减小于一，有2^（k-1）项）
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(1)当n=2时 1+1/2+1/3＝1+5/6＜2 成立
(2)设当n=k时 1+1/2+1/3+…+1/(2^k-1)<k
当n=k+1时
1+1/2+1/3+…+1/[2^(k+1)-1]
＜k+1/2^k+1/(2^k+1)+...+1/[2^(k+1)-1]
＜k+ 2^k*(1/2^k)
＜k+1 成立
综合(1)(2)得
1+1/2+1/3+…+1/(2^n-1)<n
(2)设当n=k时 1+1/2+1/3+…+1/(2^k-1)<k
当n=k+1时
1+1/2+1/3+…+1/[2^(k+1)-1]
＜k+1/2^k+1/(2^k+1)+...+1/[2^(k+1)-1]
＜k+ 2^k*(1/2^k)
＜k+1 成立
综合(1)(2)得
1+1/2+1/3+…+1/(2^n-1)<n
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