Question

大一 高等数学 多元函数微分学

设函数f(x,y)可微,且f(x,x^2)=1 （1）若f(x,x^2)对x的偏导数=x，求f(x,x^2)对y的偏导数
（2）若f(x,y)对y的偏导数=x^2+2y,求f(x,y)

Answer 1

下面用D表偏导数符号
（1）也许问法有问题，否则f(x,x^2)对y的偏导数=0，因为那函数里根本不含y
(2)Df(x,y)/Dy=x^2+2y, f(x,y) =(x^2)y +y^2 +C(x),后面C(x)是一个函数
将条件f(x,x^2)=1 代入， 1= (x^4)+x^4 +C(x), C(x)=1-2x^4
所以 f(x,y) =(x^2)y +y^2 +1-2x^4

Answer 2

y=x² 所以dy/dx=2x 所以dx/dy=1/2x
所以af/ay=af/ax ax/ay=x /2x=1/2
所以f(x,x^2)对y的偏导数为1/2

（2）f（x，y）=∫x^2+2ydy=x²y+y²+c