Question

点到平面的投影 已知点A（1,2，-3）求点A在平面2x+3y-5z+1=0上的投影，要详解！

Answer 1

点A（1,2，-3）向平面2x+3y-5z+1=0的投影线必然垂直于平面
也就是说平面的法向量（2,3，-5）为过点A的向平面所做垂线的方向向量
所以根据直线的点向式，此垂线为(x-1)/2=(y-2)/3=(z+3)/(-5)
将它与平面方程联立可以解得投影点
不懂可以追问

追问

能否把解题过程及结果写出来

追答

过点A（1,2，-3）向平面2x+3y-5z+1=0做垂线，交平面于B
因为向量（2,3，-5）为平面的法向量（看平面2x+3y-5z+1=0，xyz前面的系数）
所以过线段AB的直线方程的方向向量为（2,3，-5）
所以根据空间直线的点向式可得（A（1,2，-3）、方向向量为（2,3，-5））
垂线AB的方程为(x-1)/2=(y-2)/3=(z+3)/(-5)
与平面2x+3y-5z+1=0的交点B即为投影点
所以将上述两个方程联立解出B（-5/19，2/19,3/19）

Answer 2

这样，设投影点（a,b,c), 由（a-1,b-2,c+3）平行（2,3，-5）联立 2a+3b-5c+1=0 即可求解。