Question

已知三角形ABC中，D为BC边上的一点，且BD/DC=BA/AC,求证：AD平分角A

Answer 1

分析：用相似三角形去证明，初中水平的定理不难证明，证明如下：
证：延长BA至M使得AM=AC，连接MC，
则三角形AMC中∠ACM=∠AMC（等腰对等角）
∵ BD/DC=BA/AC 且AM=AC
∴DC / BD= AM / BA 两边同时加1
得：(DC+BD) / BD= (AM+BA) / BA
即：BC / BD = BM / BA
在三角形DBA与三角形CBM中
BC / BD = BM / BA （已经证明）
∠DBA=∠CBM（公共角）
∴三角形DBA ∽ 三角形CBM
∴∠BAD=∠BMC
∴AD平行MC
∴∠DAC=∠ACM=∠AMC=∠BAD
∴∠BAD=∠DAC
∴AD平分角BAC
证毕。

Answer 2

过C做CP平行AB，交BA延长线于P
则：DB/DC=AB/AP
因为：DB/CD=AB/AC
所以：AP=AC
所以：∠ACP=∠APC
因为：∠ACP=∠DAC，∠APC=∠DAB
所以：∠DAC=∠DAB
所以：AD平分角A。