Question

线性代数---行列式化为三角行列式并求其值和解方程

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一、将下列行列式化为三角行列式并求其值：
1 1 2 3
1 2 3 -1
3 -1 -1 -2
2 3 -1 -1
二、x 1 1 1
1 x 1 1
1 1 x 1
1 1 1 x
三、1 2 1 1
1 x 2 3
0 0 x 2
0 0 2 x
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Answer 1

第一题
第1步: r2-r1, r3-3r1, r4-2r1, 得
1 1 2 3
0 1 1 -4
0 -4 -7 -11
0 1 -5 -7
第2步: r3 + 4r2, r4 - r2, 得
1 1 2 3
0 1 1 -4
0 0 -3 -27
0 0 -6 -3
第3步: r4 - 2r3 得
1 1 2 3
0 1 1 -4
0 0 -3 -27
0 0 0 51
所以 行列式 = -153

第二题
第1步: c1+c2+c3+c4 (即2,3,4列都加到第1列), 提出第1列公因子 (3+x), 得
1 1 1 1
1 x 1 1
1 1 x 1
1 1 1 x
第2步: 第1行乘 -1 加到 2,3,4行, 得
1 1 1 1
0 x-1 0 0
0 0 x-1 0
0 0 0 x-1
所以行列式 = (3+x)(x-1)^3

第三题
第1步: r2-r1, 再交换 第3,4列, (注意这里行列式变符号) 得
1 2 1 1
0 x-2 2 1
0 0 2 x
0 0 x 2
第2步: r4 - (x/2)r3
1 2 1 1
0 x-2 2 1
0 0 2 x
0 0 0 2- (1/2)x^2
所以行列式 = - { (x-2)*2*[ 2 - (1/2)x^2] }
= (x-2)(x^2 - 4) 或写成 (x+2)(x-2)^2