Question

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）过点（-√2，1），长轴长为2√5，过点C（-1，0）且

1.若线段AB中点的横坐标是-0.5，求直线l的斜率；
2.在x轴上是否存在点M，使（向量MA）×（向量MB）+5/（3k²+1）是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B.

Answer 1

长轴长为2√5，所以a=√5，所以椭圆的方程为x²/5+y²/b²=1
椭圆过（-√2，1），带入得2/5+1/b²=1，b=√(5/3)
设过点C（-1，0）的直线方程为y=k(x+1)与椭圆的方程联立得(1+3K^2)x^2+6k^2x+3k^2-5=0
线段AB中点的横坐标是-3k^2/(1+3K^2)=-0.5,所以k=√3/3或-√3/3
设M(x,0),A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=-6k^2/(1+3K^2), x1x2=(3k^2-5)/(1+3K^2),
y1y2=k^2(x1+1)(x2+1)=-4k^2/(1+3K^2)
向量MA=(x1-x,y1),向量MB=(x2-x,y2),（向量MA）×（向量MB)）+5/（3k²+1）=x1x2-x(x1+x2)+x^2+y1y2+5/（3k²+1）=(3k^2-5)/(1+3K^2)+x6k^2/(1+3K^2)+x^2-4k^2/(1+3K^2)+5/（3k²+1）=[(1+3k^2)x^2+6(x-1)k^2]/(1+3k^2)=x^2+（6x-1)k^2/(1+3k^2)是一个与k无关的量，所以x=1/6
M（1/6,0）

Answer 2

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）过点（-√2，1），长轴长为2√5，
∴a=√5，2/5+1/b^2=1,b^2=5/3.
∴椭圆方程为x^2/5+y^2/(5/3)=1.①
过点C（-1，0）且斜率为k的直线l:y=k(x+1).
代入①*5，(1+3k^2)x^2+6k^2*x+3k^2-5=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=-6k^2/(1+3k^2),x1x2=(3k^2-5)/(1+3k^2).
1. AB中点的横坐标-3k^2/(1+3k^2)=-0.5,
∴6k^2=1+3k^2,k^2=1/3,k=土(√3）/3.
2.设M(m,0),则
向量MA*MB+5/(3k^2+1)
=(x1-m,y1)*(x2-m,y2)+5/(3k^2+1)
=(x1-m)(x2-m)+k(x1+1)*k(x2+1)+5/(3k^2+1)
=(1+k^2)x1x2+(k^2-m)(x1+x2)+m^2+k^2+5/(3k^2+1)
=[(1+k^2)(3k^2-5)-6k^2*(k^2-m)+5]/(1+3k^2)+m^2+k^2
=(6m-1)k^2/(3k^2+1)+m^2是与k无关的常数,
∴m=1/6,M的坐标是（1/6，0）。