Question

已知△ABC中,∠B=45°,∠A=75°,AB=5√2,求BC及△ABC面积

Answer 1

过C作CD垂直AB，与AB交于D
显然三角形BCD是等腰直角三角形，而ACD是锐角为15°和75°的直角三角形
作直角三角形HIJ，∠H=30°，∠J=60°，延长IH至K，使HK=HJ，则HK=HJ=2*IJ，HI=√3*IJ，因此锐角为15°和75°的直角三角形的长短直角边之比=(2+√3)：1
因此CD=(2+√3)*DA
BD=CD=(2+√3)*DA
因此AB=BD+DA=(3+√3)*DA
DA=AB/(3+√3)=5√2*(3-√3) / 6
BC=√2*BD=√2*(2+√3)*DA=√2*(2+√3)*5√2*(3-√3) / 6
=10*(3+√3) / 6
=5*(3+√3) / 3

S△ABC=AB*BC*sin∠B
=5√2*5*(3+√3) / (3*√2)
=25*(3+√3) /3

追问

可不可以不求15°和75°直角三角形长短边直角之比？
我们老师不让我们用没学过的定律……
刚刚初二学勾股定理

追答

锐角为∠H=30°，∠J=60°的直角三角形HIJ，设斜边中点为L ，则在三角形IJL中，∠J=60°，IL=JL，因此三角形IJL是等边三角形，因此斜边HJ=2*IJ
由勾股定理，HI=√(HJ^2-IJ^2)=√(3*IJ^2)=√3*IJ
而HK=HJ=2*IJ
因此KI=HK+HI=(2+√3) *IJ