Question

设a>b>0,求证根号（a^2-b^2)+根号(ab-b^2)>根号a*(根号a-根号b)

Answer 1

先将不等式作等价变换如下：
√(a^2-b^2)+√(ab-b^2) > √a(√a-√b) = a-√(ab) ，
移项，得：√(a^2-b^2)+√(ab) > a-√(ab-b^2) ，
两边平方，得：(a^2+ab-b^2)+2√(ab)·√(a^2-b^2) > (a^2+ab-b^2)-2a·√(ab-b^2) ，
移项，得：2√(ab)·√(a^2-b^2)+2a·√(ab-b^2) > 0 。

已知，a>b>0，可得：2√(ab)·√(a^2-b^2)+2a·√(ab-b^2) > 0 成立，
所以，√(a^2-b^2)+√(ab-b^2) > √a(√a-√b) 也成立。