Question

如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,AE是△BAC的外角平分线,DE‖AB交AE于E,求证:四边形ADCE是矩形。

Answer 1

在BA的延长线上取一点F，AE是△BAC的外角∠EAF平分线
∴∠FAE=∠EAC=1/2∠FAC
∵DE‖AB
∴∠DEA=∠FAE=∠EAC(两条直线平行，内错角相等；∠DEA和∠FAE是内错角)
∵△ABC中,AB=AC
∴∠B=∠ACB.
∠FAC=∠B+∠ACD（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角和）
∴∠B=∠ACD=1/2∠FAC
∴∠ACD=∠EAC(内错角相等，两条直线平行；∠DEA和∠FAE是内错角)
∴AE‖DC
∵△ABC中AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∵AE‖DC
∴∠DAE=∠ADC=90°
∵AE‖DC,DE‖AB
∴AB=AC=DE
∴四边形ADCE是矩形。

追问

判定ADCE是矩形是根据什么

追答

AC和DE的交点为O
∵AE‖DC
∴∠CDE=∠AED(内错角相等)，OD=OC
∵∠B=∠ACB，∠DAE=∠ADC=90°，∠DEA=∠FAE=∠EAC（前面证明过了）
∴∠EAC=∠ACD(两个角相等，其余角相等)
AD‖CE
∵AE‖DC，∠DAE=∠ADC=90°（前面证明过了）
所以四边形CDAE是平行四边形，四个内角是90度，所以是矩形