Question

高中数学题一道

已知动直线kx-y+1=0和圆x^2+y^2=1相交于A、B两点，求弦AB中点的轨迹方程
求详细过程 网上两个版本咱都看不全懂 复制党请54

Answer 1

解：直线kx-y+1=0即y=kx+1
代入x²+y²=1
x²+k²x²+2kx+1=1
(k²+1)x+2kx=0
x1+x2=-2k/(k²+1)
设AB中点为M（x，y）
x1+x2=2x
2x=-2k/(k²+1) ……(1)
y1+y2=kx1+1+kx2+1=k(x1+x2)+2=-2k²/(k²+1)+2=2/(k²+1)
2y=2/(k²+1) ……（2）
x/y=-k代入（2）
y=1/(x²/y²+1)
y=y²/(x²+y²)
x²+y²-y=0
x²+(y-1/2)²=1/4
仅供参考

另外直线y=kx+1
横过定点（0，1）点（0，1）在圆上
设A（x1，y1）B（x2，y2）
x1²+y1²=1
x2²+y2²=1
两式相减
(x1+x2)(x1-x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0
中点M（x，y）
x1+x2=2x
y1+y2=2y
(y1-y2)/(x1-x2)=(y-1)/(x-0)……因为点M和（0，1）都在直线上
x+y(y-1)/x=0
x²+y²-y=0
x²+(y-1/2)²=1/4