Question

2010年哈尔滨中考数学第二十题怎么用三角函数做

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝10，在△DCE中，
∠DCE＝90°，DC＝EC＝6，点D在线段AC上，点E在线段BC
的延长线上．将△DCE绕点C旋转60°得到△D′CE′（点D的
对应点为点D′，点E的对应点为点 E′），连接AD′、BE′，
过点C作CN⊥ BE′，垂足为N，直线CN交线段AD′于点M，
则MN的长为______。
不用三角函数也行但要简便

Answer 1

此题因为旋转方向不同有两种情况，分别如图1和图2所示，所以答案也应该有2个。三角函数作法也就是建立直角坐标系，用解析几何完成。

设C为原点(0,0)，EB为x轴正方向，CA为y轴正方向

图1

正时针方向旋转60°，则∠ECE'=∠DCD'=60°。故D‘坐标为(6cos30°,6sin30°)=(3√3,3)，E‘坐标为(6cos120°,6sin120°)=(-3,3√3)。

因为B坐标为(10,0)，所以直线BE’的方程为3√3x+13y-30√3=0。因为CN⊥BE'，所以|CN|=|3√3*0+13*0-30√3|/√[(3√3)^2+13^2]=15√3/7

直线CM⊥BE'，斜率为13√3/9，故直线CM的方程为y=13√3x/9。又直线AD‘的方程为7√3x+9y-90=0。联立两式可以求出M点的坐标为(3√3/2,13/2)。所以|CM|=√[(3√3/2)^2+(13/2)^2]=7

最后得到|MN|=|CM|-|CN|=7-15√3/7

图2

逆时针方向旋转60°，同样∠ECE'=∠DCD'=60°。下面不用再算了，否则就麻烦了！

观察图1和图2，可知E、E'、D、D'均在圆心为C，半径为6的圆环上，且图1和图2中的E'点关于x轴对称，B点在x轴上，所以|CN|=15√3/7

两个BE'关于x轴对称，则与其垂直的两个CM关于y轴对称，即图1和图2中的∠ACM一样。有两个图的D'关于y轴对称，即两个∠MAC一样，所以两个△AMC完全一样。得到|CM|=7

最后得到|MN|=|CM|+|CN|=7+15√3/7

综合上述：|MN|=7±15√3/7

Answer 2

7加7分之15倍的根号3；7减7分之15倍的根号3

追问

过程啊要简单还要详细