Question

1.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n的平方+2n-1,试判断数列{an}是否是等差数列

2.若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3n的平方+2n，试判断数列{an}是否是等差数列。
3.已知数列{an}的前n项和为Sn=n的平方+2n
（1）求证：{an}是等差数列
（2）求使100＜an＜200的所有项的和
求三道题的过程，谢谢！

Answer 1

1、解：Sn=n^2+2n-1
S(n-1)=(n-1)^2+2(n-1)-1=n^2-2n+1+2n-2-1=n^2-2
an=Sn-S(n-1)=n^2+2n-1-n^2+2=2n+1
a(n-1)=2(n-1)+1=2n-1
an-a(n-1)=2n+1-2n+1=2
所以{an}是等差数列
2、解：Sn=3n^2+2n
S(n-1)=3(n-1)^2+2(n-1)=3n^2-6n+3+2n-2=3n^2-4n+1
an=Sn-S(n-1)=3n^2+2n-3n^2+4n-1=6n-1
a(n-1)=6(n-1)-1=6n-7
an-a(n-1)=6n-1-6n+7=6
所以{an}是等差数列
3、(1)证明：Sn=n^2+2n
S(n-1)=(n-1)^2+2(n-1)=n^2-2n+1+2n-2=n^2-1
an=Sn-S(n-1)=n^2+2n-n^2+1=2n+1
a(n-1)=2(n-1)+1=2n-2+1=2n-1
an-a(n-1)=2n+1-2n+1=2
所以{an}是等差数列
(2)由100<an<200，得
100<2n+1<200
50≤n≤99
S=S99-S49=99^2+2*99-49^2-2*49=7500

Answer 2

1.S(n-1)=(n-1)^2+2(n-1)-1=n^2-2,
an=Sn-S(n-1)=2n+1
a(n-1)=2(n-1)+1=2n-1
a(n-2)=2(n-2)+1=2n-3
因an+a(n-2)=2a(n-1)，故是等差数列。
2.S(n-1)=3(n-1)^2+2(n-1)=3n^2-4n+1,
an=Sn-S(n-1)=6n-1
a(n-1)=6(n-1)-1=6n-7
a(n-2)=6(n-2)-1=6n-13
因an+a(n-2)=2a(n-1)，故是等差数列。

Answer 3

an=Sn-Sn-1 带入即可