如图,AB是圆O的直径,点C在BA的延长线上,直线CD与圆O相切于点D,弦DF垂直AB于点E,线段CD=10,连接BD
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(1)证明:
因为AB是直径,DF垂直AB
所以AB垂直平分DF(垂径定理)
连接BF则∠CBD=∠CNF
所以∠DBF=2∠CBD
CD是圆O的切线,∠CDE是弦切角
所以∠CDE=∠DBF
所以∠CDE=2∠CBD(即∠B)
(2)设圆O的半径为a,则AB=2a
因为BD:AB=√3:2
所以BD=√3a
连接OD,AD
则OD垂直CD,AD垂直BD
由勾股定理
AD²+BD²=AB²
解得AD=a
所以三角形AOD是正三角形(AO=OD=AD=a)
角COD=60度
所以角C=30度
那么在直角三角形COD中
OC=2OD=2a
根据勾股定理
OC²=OD²+CD²
4a²=a²+100
a²=100/3
a=10√3/3
圆的半径为10√3/3
在直角三角形CED中
角C=30度
所以DE=1/2CD=10×1/2=5
所以DF=2DE=10
因为AB是直径,DF垂直AB
所以AB垂直平分DF(垂径定理)
连接BF则∠CBD=∠CNF
所以∠DBF=2∠CBD
CD是圆O的切线,∠CDE是弦切角
所以∠CDE=∠DBF
所以∠CDE=2∠CBD(即∠B)
(2)设圆O的半径为a,则AB=2a
因为BD:AB=√3:2
所以BD=√3a
连接OD,AD
则OD垂直CD,AD垂直BD
由勾股定理
AD²+BD²=AB²
解得AD=a
所以三角形AOD是正三角形(AO=OD=AD=a)
角COD=60度
所以角C=30度
那么在直角三角形COD中
OC=2OD=2a
根据勾股定理
OC²=OD²+CD²
4a²=a²+100
a²=100/3
a=10√3/3
圆的半径为10√3/3
在直角三角形CED中
角C=30度
所以DE=1/2CD=10×1/2=5
所以DF=2DE=10
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